ZADANIA Z PROCENTÓW

sale

Cały czas pracujemy nad wprowadzeniem filmów na bloga. Mam nadzieję, że najpóźniej po świętach będziecie mogli już zobaczyć efekty naszej pracy. Ale, jako, że uczyć musicie się już dziś, zaczynamy z cyklem wpisów zawierających proponowane przeze mnie zadania, wraz z ich rozwiązaniami.

Analizując arkusze maturalne od wielu lat łatwo zauważyć pewne zależności i powtarzające się zadania. Nie są one identyczne rok w rok, ale wiele z nich dorobiło się już miana „pewniaków maturalnych”. Niestety, jak przekonało się wielu maturzystów, bazowanie tylko na „pewniakach” może być niebezpieczne. Nie da się jednak ukryć, iż biorąc pod uwagę teorię prawdopodobieństwa, „pewniakom” tym należy się szczególna uwaga.  Dlatego szykując dla Was zadania na dziś zrobiłam dokładny przegląd wieeeeelu arkuszy i przygotowałam podobne. Umieściłam też dokładnie te zadania, które pojawiły się na maturach w ubiegłych latach oraz dorzuciłam co nieco od siebie.

Na pierwszy ogień idą procenty. I choć zadanie z procentów jest na każdej maturze, to zadania są różne. Różny też jest poziom ich trudności. Są takie, gdzie jednym ruchem jesteśmy w stanie otrzymać wynik. Są też takie, które wymagają dwóch, trzech obliczeń, albo, mimo niewielu danych, nie wiadomo od czego zacząć. Zadania procentowe podzieliłam na dwie grupy, a w nich na podgrupy. Wszystko po to, by ułatwić Wam powtórkę. Przed każdą grupą zadań umieściłam komentarz, na co należy zwrócić uwagę przy ich rozwiązywaniu. Poprawne odpowiedzi i moje propozycje obliczeń znajdują się na dole wpisu.

POWODZENIA !!!

Obliczanie procentu danej liczby. Obliczanie liczby z danego jej procentu. Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba.

Zacznijmy od tych najprostszych, które najwygodniej jest obliczyć proporcją, wystarczy tylko ustalić, co stanowi 100%. Trzy pierwsze, to zadania z arkuszy maturalnych.

Zadanie 1.

Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189zł. Rower kosztuje

A. 1701 zł                    B. 2100 zł                  C. 1890 zł                      D. 2091 zł

Zadanie 2.

Na seans filmowy sprzedano 280 biletów, w tym 126 ulgowych. Jaki procent sprzedanych biletów stanowiły bilety ulgowe?

A. 22 %                      B. 33 %                     C. 45 %                          D. 63%

Zadanie 3.

6% liczby x jest równe 9. Wtedy

A. x=240                 B. x=150                  C. x=24                      D. x=15

Zadanie 4.

Podczas zakupu lodówki należy wpłacić 144zł, co stanowi 8% jej ceny. Oblicz cenę pralki.

A. 1152 zł                B. 1800 zł                C. 1650 zł                 D. 1440 zł

Zadanie 5.

6% pewnej liczby x wynosi 15. A więc x jest równie

A. 65                        B. 90                        C. 250                      D. 380

Zadanie 6.

W pewnej firmie 124 osób otrzymało podwyżkę. Jaki to procent pracowników, jeśli w tej firmie pracowało 800 osób?

A. 24 %                   B. 8 %                     C. 12,4 %                   D. 15,5 %

Zadanie 7.

Jaki procent liter w wyrazie MATEMATYKA stanowią samogłoski.

A. 40%                   B. 55%                  C. 50%                       D. 67%

Zadanie 8.

W sadzie o powierzchni 1200 m² 28% powierzchni jest obsadzone jabłoniami, co odpowiada

A. 336 m³             B. 280 m³               C. 150 m³                 D. 366 m³

Zadanie 9.

Oblicz 45% z 26% liczby 1500.

A. 155                    B. 450,1                     C. 175,5                    D. 675

Zadanie 10.

Ile tłuszczu znajduje się w 2,3 kg śmietany 30%?

A. 460 g                  B. 0,69 g                C. 690 g                   D. 300 g      

Zadanie 11.

Wiedząc, że tlen stanowi 21 % objętości powietrza, oblicz ile tlenu znajduje się w pomieszczeniu o wymiarach 3×4,5×2,5 m.

A. około 7 m²       B. około 7,5 m²            C. około 21 m²          D. około 2 m²

Zadanie 12.

W 15% roztworze soli kuchennej jest 120 g soli. Masa roztworu wynosi

A. 1800 g                 B. 950 g                C. 18 g                      D. 800 g

Zadanie 13.

Jakim procentem liczby 28 jest liczba 63?

A. 225 %                B. 55,5 %              C. 180 %                  D. 44,4 %

Czas na zadania z literami. Bazują one na tych samych zagadnieniach co zadania powyższe, jednak często sprawiają problemy właśnie przez konieczność obliczeń na literach. Tu znowu w pierwszej kolejności dwa zadania z arkuszy maturalnych. Zacznijcie od zapisania wszystkich zależności, np. a = 0,6b. Następnie próbujcie potraktować te zależności jak równanie, ewentualnie układ równań i starajcie się obliczyć zależność o jaką chodzi w odpowiedzi. Ok, za jasno to to nie brzmi. Ale jak nie dacie rady, to macie przecież rozwiązania.

Zadanie 14.

Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że

A. c = 1,5a                  B. c = 1,6a                   C. c = 0,8a                     D. c = 0,16a

Zadanie 15.

Liczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby a jest równe 15% liczby b. Stąd wynika, że a jest równe

A. 103% liczby b           B. 125% liczby b           C. 150% liczby b            D. 153% liczby b

Zadanie 16.

O liczbie a wiemy, że jest dodatnia. Liczba c stanowi 30% liczby a, a liczba b stanowi 80% liczby c. Wynika stąd, że

A. a = 24%b        B. a = 110%b             C. a = 340%b              D. a = 416,7%b

Zadanie 17.

Liczby a i b są dodatnie. Liczba c jest równa 36% liczby a oraz 3% liczby b. A więc liczba b jest równa

A. 1200% liczby a              B. 33% liczby a                   C. 8,3% liczby a             D. 108% liczby a

Podwyżki i obniżki. O ileś procent więcej/mniej.

Ja nazywam je zadaniami z „o”. Są to zadania, w których coś jest większe lub mniejsze od czegoś o ileś procent. Zaliczamy tu więc wszelkie podwyżki i obniżki, ale także zadania typu: jedna liczba jest o x% większa/mniejsza od drugiej, ktoś jest wyższy/niższy, ma więcej/mniej o ileś tam procent. Pierwsze 4 zadania pochodzą z minionych matur.

O czym musimy pamiętać licząc tego typu zadania?

  • Nie możemy dodawać do siebie procentów przy podwójnych obniżkach/podwyżkach.
  • Każdorazowo cena przed obniżką/podwyżką musi być traktowana jako 100%, nawet jeśli jej nie znamy i jest to nasza niewiadoma.
  • W zadaniach bez podwyżek/obniżek trzeba dobrze przemyśleć, która liczba była „pierwsza” i została zmniejszona/zwiększona, lub  do której porównujemy drugą? To ona będzie stanowiła nasze 100%.

 

Zadanie 1.

Spodnie po obniżce o 30% kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?

A. 163,80 zł                    B. 180 zł                       C. 294 zł                      D. 420 zł

Zadanie 2.

Samochód kosztował 30000 zł. Jego cenę obniżono o 10%, a następnie cenę po tej obniżce ponownie obniżono o 10%. Po tych obniżkach samochód kosztował

A. 24400 zł                 B. 24700 zł                  C. 24000 zł                      D. 24300 zł

Zadanie 3.

Jeżeli liczba 78 jest o 50% większa od liczby c, to

A. c = 60                B. c = 52                   C. c = 48                     D. c = 39

Zadanie 4.

Cena koszuli dwóch 20% obniżkach wynosiła 54,40 zł. Jaka była wyjściowa cena koszuli?

A.   90,67 zł               B. 136 zł                 C.  94,40 zł                 D. 85 zł

Zadanie 5.

Wojtek ma 185 cm wzrostu i jest wyższy od Andrzeja o 8 cm. O ile procent w przybliżeniu Andrzej jest niższy od Wojtka?

A. 4,3%                  B. 4,5%                  C. 9,5%                D. 8%

Zadanie 6.

Oblicz liczbę, która jest o 12% większa od liczby 55.

A. 62                   B. 6,6                    C. 55,12                D. 61,6

Zadanie 7.

Ola ma 7 par spodni, czyli o 40% więcej niż Ala. A więc Ala ma

A. 3 pary spodni         B. 4 pary spodni          C. 5 par spodni          D 10 par spodni

I znów w drugiej kolejności niezbyt lubiane zadania z literami lub bez danych i z „o”. Co prawda, w ostatnich latach tylko raz wystąpiło takie zadanie (pierwsze poniżej), ale chcemy być dobrze przygotowani. Prawda?

Zadanie 8.

Cenę nart obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%. W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o

A. 44%                       B. 50%                        C. 56%                     D. 60%

Zadanie 9.

Monika ma 20% więcej oszczędności niż Weronika. O ile procent Weronika ma mniej oszczędności, niż Monika?

A. 10%              B. 20%                  C. 14,4%             D. 16,7%

Zadanie 10.

Długość boku kwadratu k2 jest o 10% większa od długości kwadratu k1. Wówczas pole kwadratu k2 jest większe od pola kwadratu k1

A. o 10%                B. o 110%             C. o 21%                      D. o 121%

Zadanie 11.

O ile procent zwiększy się pole koła, jeśli jego promień r zwiększymy trzykrotnie?

A. o 300%        B. o 20%                 C. o 900%              D. o 800%

Zadanie 12.

Liczbę a zwiększono najpierw o 20% a następnie otrzymany wynik zmniejszono o 20%. Wynika stąd, że wynik jest

A. równy              B. o 4% większy od a           C. o 4% mniejszy od a           D. nie da się tego ustalić

 

Rozwiązania:

Dla uproszczenia w rozwiązaniach stosuję tylko dwie metody obliczeń zadań procentowych. Jedna, to prosta proporcja. I ta ma zastosowanie do zadań z pierwszej części. Wyjątkiem są tu zadania z literami, przy których proporcja może więcej zamieszać, niż ułatwić. Do zadań z „o” także stosuję proporcję, jednak najpierw w określony sposób zapisuję dane, co zostanie pokazane w konkretnych rozwiązaniach Jeśli liczysz inną metodą, a wynik się zgadza, to ok. Nie zmieniaj metody tylko dlatego, że ktoś liczy inaczej. Ja stosuję proporcję, bo jest ona najprostsza do opanowania dla osób, które procentów „nie czują” i jest im trudno innymi metodami, zwłaszcza intuicyjnymi. Jeśli jednak miałeś/aś problemy choć z jednym zadaniem z danej grupy, zachęcam do bliższego zapoznania się z moimi metodami. Na maturę musisz być wyposażony w taki sposób liczenia, który działa na wszystko 🙂

Obliczanie procentu danej liczby. Obliczanie liczby z danego jej procentu. Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba.

Zadanie 1.

Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189zł. Rower kosztuje

A. 1701 zł                    B. 2100 zł                  C. 1890 zł                      D. 2091 zł

Zawsze na początku tego typu zadań zadajemy sobie pytanie: Co stanowi tu całość? Co jest naszym 100%?

W tym zadaniu 100% to cała cena roweru, a więc to, co mamy obliczyć. Nasz x. Układamy więc proporcję, pamiętając aby procenty były pod procentami.

100%  –  x

9%  –  189

9x = 189*100

x = 2100

Zadanie 2.

Na seans filmowy sprzedano 280 biletów, w tym 126 ulgowych. Jaki procent sprzedanych biletów stanowiły bilety ulgowe?

A. 22 %                      B. 33 %                     C. 45 %                          D. 63%

100% to wszystkie sprzedane bilety. A więc proporcja ma postać:

100%  –  280

x%  –  126

280x = 126*100

x = 45

Zadanie 3.

6% liczby x jest równe 9. Wtedy

A. x=240                 B. x=150                  C. x=24                      D. x=15

Zapisując inaczej, liczba 9 to 6% jakieś liczby x. A więc liczba x stanowi w tym zadaniu całość, czyli 100%.

100%  –  x

6%  –  9

6x = 9*100

x = 150

Zadanie 4.

Podczas zakupu lodówki należy wpłacić 144zł, co stanowi 8% jej ceny. Oblicz cenę pralki.

A. 1152 zł                B. 1800 zł                C. 1650 zł                 D. 1440 zł

W tym zadaniu 100% to cena pralki.

100%  – x

8%  – 144

8x = 144*100

x = 1800

Zadanie 5.

6% pewnej liczby x wynosi 15. A więc x jest równie

A. 65                        B. 90                        C. 250                      D. 380

Zadanie identyczne jak trzecie.

100%  –  x

6%  –  15

6x = 15*100

x = 250

Zadanie 6.

W pewnej firmie 124 osób otrzymało podwyżkę. Jaki to procent pracowników, jeśli w tej firmie pracowało 800 osób?

A. 24 %                   B. 8 %                     C. 12,4 %                   D. 15,5 %

Tu 100% to wszyscy pracownicy firmy, czyli liczba 800.

100%  –  800

x%  –  124

800x = 124*100

x = 15,5

Zadanie 7.

Jaki procent liter w wyrazie MATEMATYKA stanowią samogłoski.

A. 40%                   B. 55%                  C. 50%                       D. 67%

Tu 100% to wszystkie litery, a więc liczba 10. Pytają nas o samogłoski, których jest 5, a więc bez proporcji możemy udzielić odpowiedzi. Jest to, oczywiście, 50%.

Zadanie 8.

W sadzie o powierzchni 1200 m² 28% powierzchni jest obsadzone jabłoniami, co odpowiada

A. 336 m²             B. 280 m²               C. 150 m²                 D. 366 m²

100% to cała powierzchnia działki.

100%  –  1200

28%  –  x

100x = 28*1200

x = 336

Lub krócej, obliczamy 28% z 1200, czyli:

28%*1200 = 0,28*1200 = 336

Jednak dla osób, które mają duże problemy z procentami zalecam proporcję. Przy niej nie musimy myśleć, czy mnożyć, czy dzielić, zawsze jest tak samo.

Zadanie 9.

Oblicz 45% z 26% liczby 1500.

A. 155                    B. 450,1                     C. 175,5                    D. 675

Zadanie nieco bardziej zakręcone. Tu są dwa obliczenia. W pierwszej kolejności obliczymy sobie 26% z liczby 1500.

100%  –  1500

26%  –  x

100x = 26*1500

x = 390

Następnie obliczamy 45% z wyniku:

100%  –  390

45%  –  x

100x = 45*390

x = 175,5

Druga metoda:

45%*26%*1500 = 0,45*0,26*1500 = 175,5

Zadanie 10.

Ile tłuszczu znajduje się w 2,3 kg śmietany 30%?

A. 460 g                  B. 0,69 g                C. 690 g                   D. 300 g      

Tu 100% to 2,3kg. Ponieważ wynik ma wyjść w gramach, najlepiej od razu zamienić kg na g. Mamy więc 2300 g śmietany.

100%  –  2300

30%  –  x

100x = 30*2300

x = 690

Druga metoda:

30%*2300 = 0,3*2300 = 690

Zadanie 11.

Wiedząc, że tlen stanowi 21 % objętości powietrza, oblicz ile tlenu znajduje się w pomieszczeniu o wymiarach 3×4,5×2,5 m.

A. około 7 m³       B. około 7,5 m³            C. około 21 m³          D. około 2 m³

Aby obliczyć objętość tlenu, w pierwszej kolejności musimy obliczyć objętość pomieszczenia. Jest ono prostopadłościanem, a więc wystarczy wymnożyć wymiary:

V = abc = 3*4,5*2,5 = 33,75 m³

Obliczona objętość stanowi 100% powietrza w pomieszczeniu.

100%  –  33,75

21%  –  x

100x = 21*33,75

x ≈ 7 m³

Lub:

21%*33,75 = 0,21*33,75 ≈ 7 m³

Zadanie 12.

W 15% roztworze soli kuchennej jest 120 g soli. Masa roztworu wynosi

A. 1800 g                 B. 950 g                C. 18 g                      D. 800 g

100% to masa roztworu, czyli x.

100%  –  x

15%  –  120

15x = 120*100

x = 800

Zadanie 13.

Jakim procentem liczby 28 jest liczba 63?

A. 225 %                B. 55,5 %              C. 180 %                  D. 44,4 %

Tu należy uważnie przyjrzeć się zadaniu. Która liczba stanowi 100%? Nie zawsze musi być to liczba większa. W tym zadaniu jest to 28, ponieważ to 63 jest porównywanie do liczby 28. Pytają jakim procentem … jest liczba 63. A więc to ona będzie stanowiła x%.

100%  –  28

x%  –  63

28x = 63*100

x = 225

Zadanie 14.

Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że

A. c = 1,5a                  B. c = 1,6a                   C. c = 0,8a                     D. c = 0,16a

Tu, tak jak napisałam wyżej, proponuję nie korzystać z proporcji. Zapisujemy podane w zadaniu zależności. A więc:

b = 0,48a

b = 0,32c

Mamy więc b zapisane na dwa sposoby. Ponieważ w odpowiedziach mamy zależność c od a, można porównać ze sobą te dwa zapisy liczby b. Oznaczyłam to różnymi kolorami, żeby było czytelniej.

0,32c = 0,48a

Aby otrzymać zależność zaczynającą się od samego c, tak jak w odpowiedziach, wystarczy to równanie podzielić obustronnie przez 0,32. Otrzymujemy:

c = 1,5a

Zadanie 15.

Liczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby a jest równe 15% liczby b. Stąd wynika, że a jest równe

A. 103% liczby b           B. 125% liczby b           C. 150% liczby b            D. 153% liczby b

Zapisujemy zależność:

0,12a = 0,15b

Pytają nas, ile wynosi a. Wystarczy więc podzielić równanie obustronnie przez 0,12. A więc:

a = 1,25b

Widzimy więc, ze a stanowi 125% b.

Zadanie 16.

O liczbie a wiemy, że jest dodatnia. Liczba c stanowi 30% liczby a, a liczba b stanowi 80% liczby c. Wynika stąd, że

A. a = 24%b        B. a = 110%b             C. a = 340%b              D. a = 416,7%b

Zapisujemy zależności:

c = 0,3a

b = 0,8c

W odpowiedziach mamy zależność liter b i a, a więc musimy się pozbyć litery c. Wystarczy więc c w drugiej zależności zastąpić wyrażeniem 0,3a.

b = 0,8*0,3a

b = 0,24a

Ponieważ nas pytają, ile równa jest liczba a, musimy odwrócić równanie i podzielić przez 0,24.

0,24a = b

a = 4,167 b

a = 416,7%b

Zadanie 17.

Liczby a i b są dodatnie. Liczba c jest równa 36% liczby a oraz 3% liczby b. A więc liczba b jest równa

A. 1200% liczby a              B. 33% liczby a                   C. 8,3% liczby a             D. 108% liczby a

Zapisujemy zależności:

c = 0,36a

c = 0,03b

Tu mamy podobny przypadek jak w zadaniu 14.

0,03b = 0,36a

b = 12a

b = 1200%a

Podwyżki i obniżki. O ileś procent więcej/mniej.

Najpierw mały komentarz ode mnie. Być może poniższe metody rozwiązywania zadań wydadzą Ci się niepotrzebnie tak długie. Powiesz, że są prostsze sposoby. Ja jednak podaję wszystkie rozwiązania zadań z „o” według jednego schematu, bo tak jest prościej dla osób, które mają z procentami duży problem. Nie muszą one wtedy w stresie ma maturze myśleć, jaką metodę zastosować, tylko robią to odruchowo, o ile oczywiście taki odruch sobie wyrobią odpowiednią ilością wyliczonych zadań. Widzą w zadaniu obniżkę lub podwyżkę, albo widzą zwrot „o” ileś tam procent i już wiedzą jak zacząć, a to często jest najtrudniejsze. A więc jeśli Tobie rozwiązanie każdego zadania zajęło dużo mniej niż mi – GRATULACJE!! Procenty nie stanowią dla Ciebie żadnego problemu.

Zadanie 1.

Spodnie po obniżce o 30% kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?

A. 163,80 zł                    B. 180 zł                       C. 294 zł                      D. 420 zł

Tak, jak pisałam wyżej, cena przed podwyżką/obniżką zawsze stanowi 100%. Tu nasza proporcja będzie nieco bardziej obszerna, ponieważ mamy sytuację przed, po i samą podwyżkę/obniżkę. A więc trzy elementy. Dla tego konkretnego zadania będzie to wyglądało następująco:

x    –    y    =    126

100% – 30% = 70%

W pierwszej linii mamy cenę przed (x) minus ileś tam zł (y) daje nam cenę po podwyżce. Poniżej odpowiednie procenty. Jak widzimy, wszystkie niewiadome zastępujemy jakąś literą. Nie wszystkie są nam tu potrzebne. Możemy w miejscu niepotrzebnych liter zostawić puste miejsce, ale to by się trzeba, już na etapie zapisywania zastanowić, co nam właściwie jest potrzebne.

 Możemy tu ułożyć trzy różne proporcje, w zależności o co nas pytają. Możemy użyć kolumny pierwszej i drugiej albo pierwszej i trzeciej, albo drugiej i trzeciej. W naszym przypadku chodzi nam o obliczenie ceny przed podwyżką, czyli x, omijamy więc kolumnę z y i 30%, a więc wychodzi nam:

70*x = 126*100

x = 180

Zadanie 2.

Samochód kosztował 30000 zł. Jego cenę obniżono o 10%, a następnie cenę po tej obniżce ponownie obniżono o 10%. Po tych obniżkach samochód kosztował

A. 24400 zł                 B. 24700 zł                  C. 24000 zł                      D. 24300 zł

Zadanie podobne do drugiego, tyle, że mamy cenę początkową. A więc już bez opisu przechodzimy do obliczeń.

Pierwsza obniżka:

30000   –   x  =  y

100% – 10% = 90%

100*y = 90*30000

y = 27000

Druga obniżka:

27000  –  x  =  y

100% – 10% = 90%

100*y = 90*27000

y = 24300

Zadanie 3.

Jeżeli liczba 78 jest o 50% większa od liczby c, to

A. c = 60                B. c = 52                   C. c = 48                     D. c = 39

To zadanie traktujemy tak, jakby to była podwyżka o 50%. Jeśli macie problem z ustaleniem, która liczba, to ta przed „podwyżką”, zostawcie na razie w schemacie miejsce, a uzupełnijcie procenty:

____ + x = ____

100% + 50% = 150%

Widzimy więc, że liczba za równa się musi być większa, bo stanowi 150% początkowej. Z zadania wynika, że to 78 jest liczbą większą, a więc nasz schemat przyjmuje postać:

c   +   x   =   78

100% + 50% = 150%

150*c = 78*100

c = 52

Zadanie 4.

Cena koszuli dwóch 20% obniżkach wynosiła 54,40 zł. Jaka była wyjściowa cena koszuli?

A.   90,67 zł               B. 136 zł                 C.  94,40 zł                 D. 85 zł

Mamy dwie obniżki i cenę „po”. Zaczynamy więc liczenie od drugiej obniżki. Reszta jak wyżej.

Druga obniżka:

x  –  y  =  54,40

100% – 20% = 80%

Obliczamy cenę „przed”:

80*x = 54,40*100

x = 68

Pierwsza obniżka:

x   –  y   =   68

100% – 20% = 80%

80*x = 68*100

x = 85

Zadanie 5.

Wojtek ma 185 cm wzrostu i jest wyższy od Andrzeja o 8 cm. O ile procent w przybliżeniu Andrzej jest niższy od Wojtka?

A. 4,3%                  B. 4,5%                  C. 9,5%                D. 8%

Tu kluczowa jest kolejność zapisu. Pytają nas o ile procent A jest niższy od W. Niższy, czyli „obniżka”, czyli liczba za równa się musi być mniejsza niż początkowa. A więc musimy zacząć od wyższego chłopaka, czyli Wojtka.

185 – 8 = 177

100% – x% = y%

Obliczamy, o ile procent A jest niższy, czyli x.

185*x = 8*100

x ≈ 4,3

Zadanie 6.

Oblicz liczbę, która jest o 12% większa od liczby 55.

A. 62                   B. 6,6                    C. 55,12                D. 61,6

Słowo „większa” sugeruje nam „podwyżkę”. A więc za równa się musi być liczba większa, czyli ta, którą mamy obliczyć.

55    +    x    =    y

100% + 12% = 112%

100*y = 55*112

y = 61,6

Zadanie 7.

Ola ma 7 par spodni, czyli o 40% więcej niż Ala. A więc Ala ma

A. 3 pary spodni         B. 4 pary spodni          C. 5 par spodni          D 10 par spodni

Tu znowu „podwyżka”, czyli 7, jako większa ilość spodni idzie ma prawo. Ilość spodni Ali oznaczamy jako x.

x   +   y   =   7

100% + 40% = 140%

140*x = 7*100

x = 5

Zadanie 8.

Cenę nart obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%. W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o

A. 44%                       B. 50%                        C. 56%                     D. 60%

Tu zadanie jest podwójnie utrudnione. Po pierwsze, nie mamy ceny, tylko procenty. Po drugie, są dwie obniżki. Sposób liczenia zależy od tego, czy byłoby to zadanie zamknięte, czy otwarte. Podaję oba warianty. Oba rozwiązania bazują na schemacie z poprzedniego zadania.

Jeśli zadanie jest zamknięte, możemy wymyślić sobie jakąś cenę początkową, np. 100zł. Jeśli nie, czeka nas liczenie na literach. Wiem, że przy tej kwocie zapisywanie proporcji może się wydać niektórym bez sensu, skoro można to policzyć w pamięci, chodzi mi jednak o metodę uniwersalną, odpowiednią dla każdej liczby.

Rozpisujemy pierwszą obniżkę i obliczamy cenę po niej:

100    –    x    =    y

100% – 20% = 80%

100y = 80*100

y = 80

Następnie rozpisujemy drugą obniżkę, pamiętając, że teraz cena początkowa, czyli 80zł to nasze 100%.

80    –    x    =    y

100% – 30% = 70%

100y = 70*80

y = 56

Teraz musimy obliczyć o ile procent zmniejszyła się cena w wyniku obu obniżek. Przedtem obliczamy o ile zł zmniejszyła się cena:

100 – 56 = 44

Zapiszemy więc takie działanie, jakby to była jedna obniżka:

100 – 44 = 56

100% – x% = y%

Mamy obliczyć o ile procent zmniejszyła się cena, w więc x:

100*x = 44*100

x = 44

Teraz druga wersja obliczeń, na literach. Cena początkowa to x.

x    –    y    =    z

100% – 20% = 80%

100z = 80x

z = 0,8x

Cena po pierwszej obniżce to 0,8x. Teraz druga obniżka.

0,8x    –    y    =    z

100% – 30% = 70%

100z = 70*0,8x

y = 0,56x

Teraz musimy obliczyć o ile procent zmniejszyła się cena w wyniku obu obniżek. Przedtem obliczamy o ile zł zmniejszyła się cena:

x – 0,56x = 0,44x

Zapiszemy więc takie działanie, jakby to była jedna obniżka:

x  –  0,44x = 0,56x

100% – y% = z%

Mamy obliczyć o ile procent zmniejszyła się cena, w więc x:

x*y = 0,44x*100

x = 44

Zadanie 9.

Monika ma 20% więcej oszczędności niż Weronika. O ile procent Weronika ma mniej oszczędności, niż Monika?

A. 10%              B. 20%                  C. 14,4%             D. 16,7%

Nie podaję tu wersji na liczbach, ponieważ, mimo, że podałam do niego 4 warianty odpowiedzi, zadanie o takim stopniu trudności nie będzie występować jako zamknięte na maturze. Mimo tego, już po obliczeniu takie zadanie warto sobie na jakiś przykładowych liczbach sprawdzić.

„Podwyżka” o 20%, a więc oszczędności Moniki lądują za równa się. Nie zajmujemy się nadto brakiem danych 😉 Mamy tylko procenty, więc wychodzą nam w pierwszej linii same litery:

x    +    y    =    z

100% + 20% = 120%

Wychodzi nam więc, że Weronika ma x oszczędności, Monika ma o y więcej, czyli z. Tak nam to wynika z pierwszego zdania zadania. Problem w tym, że w pytaniu jest odwrotnie. Obliczamy więc, na literach, ile oszczędności ma Monika, tak aby obie liczby mieć wyrażone za pomocą litery x

100*z = 120*x

z = 1,2x

Czyli Weronika ma x oszczędności, a Monika 1,2x oszczędności. Teraz zapisujemy „obniżkę”, aby policzyć o ile procent Weronika ma MNIEJ od Moniki. Obniżka, czyli za równa się ma być liczba mniejsza, czyli oszczędności Weroniki:

1,2x – 0,2x = x

100% – y% = z%

Musiałam tu obliczyć, o ile mniej w iksach ma Weronika.

Obliczamy y:

1,2x*y = 0,2x*100

y = 16,7

Zadanie 10.

Długość boku kwadratu k2 jest o 10% większa od długości kwadratu k1. Wówczas pole kwadratu k2 jest większe od pola kwadratu k1

A. o 10%                B. o 110%             C. o 21%                      D. o 121%

To zadanie występowało jako zadanie na 1 punkt, możemy więc wymyślić sobie jakieś dane. Załóżmy, że pierwszy kwadrat ma bok 10.

Drugi ma bok o 10% większy, a więc:

10   +   x   =  y

100% + 10% = 110%

y = 11

Teraz obliczamy oba pola:

P1 = 10² = 100

P2 = 11² = 121

Przez użycie liczby 10 widać „na oko”, że drugie pole jest o 21% większe od pierwszego. Ale, gdyby ktoś tego nie „widział”, lub w zadaniu były podane inne liczby, obliczmy to:

100 + 21 = 121

100% + x% = y%

x = 21

Wersja na literach:

Postępujemy podobnie jak w pierwszym etapie zadania 9.

k1 + x = k2

100% + 10% = 110%

100*k2 = 110*k1

k2 = 1,1k1

Pierwszy kwadrat ma bok k1, a drugi k2, które jest równe 1,1k1.

Obliczamy pola na literach.

P1 = k1²

P2 = (1,1 k1)² = 1,21 k1²

Czyli widać, że P2 jest o 0,21 większe od P1, czyli o 21%.

Zadanie 11.

O ile procent zwiększy się pole koła, jeśli jego promień r zwiększymy trzykrotnie?

A. o 300%        B. o 20%                 C. o 900%              D. o 800%

Najpierw na wymyślonych danych. Niech promień wynosi 1.

r1 = 1

r2 = 1*3 = 3

Obliczamy pola:

P1 = π*1² = π

P2 = π*3² = 9π

Teraz obliczamy o ile procent drugie pole jest większe od pierwszego:

π  +  8π  =  9π

100% + x% = y%

π*x = 8π*100

x = 800

Wersja na literach:

Mamy r1 i r2 = 3r1

Obliczamy pola:

P1 = πr1²

P2 = π(3r1)²=9πr1²

I podobnie jak w wersji z liczbami, obliczamy o ile procent drugie pole jest większe od pierwszego:

πr1²  +  8πr1²  =  9πr1²

100% + x% = y%

πr1²*x = 8πr1²*100

x = 800

Zadanie 12.

Liczbę a zwiększono najpierw o 20% a następnie otrzymany wynik zmniejszono o 20%. Wynika stąd, że wynik jest

A. równy              B. o 4% większy od a           C. o 4% mniejszy od a           D. nie da się tego ustalić

Zwiększamy liczbę a o 20%:

a     +    x   =   y

100% + 20% = 120%

y = 1,2a

Teraz zmniejszamy liczbę 1,2a o 20%:

1,2a    –    x    =   y

100% – 20% = 80%

y = 0,96a

Widzimy więc, że a zmniejszyło się o 0,04, czyli o 4%. Dla tych, którzy mają wątpliwości, proporcja:

a – 0,04a = 0,96a

100% – x% = y%

x = 4

 

 

Dodaj komentarz