POTĘGI I PIERWIASTKI – TŁUMACZENIE CZ. 1

Dzisiaj pierwsza część obiecanego tłumaczenia Wybranych wzorów matematycznych. Pod każdym wzorem/teorią znajduje się moje objaśnienie wraz z przykładami na liczbach. Na samym dole kilka przykładowych zadań, abyście mieli na czym poćwiczyć i przetestować, na ile moje tłumaczenie było dla Was jasne.

Zadania te wymagają jednak często połączenia kilku wzorów i pewnej taktyki postępowania. Jeśli więc, mimo zrozumienia wzorów, będziecie mieli z problem z zadaniami, to rozwiązania pojawią się w sobotę, wraz z omówieniem.

A teraz przechodzimy do tłumaczenia. Jeśli przy wzorze znajduje się komentarz „nie obowiązuje”, mam na myśli maturę w „nowej” formule, czyli podstawę programową obowiązującą od 2015r.

Potęgi i pierwiastki

n – czyli potęga, ma być liczbą całkowitą dodatnią, czyli: 1, 2, 3, 4, … Podstawa potęgi, czyli a, jest dowolna. A więc definicja najprostszej potęgi. Przykłady na liczbach:

3^{4}=3\cdot3\cdot3\cdot3

(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}

\sqrt{50}^{4}=\sqrt{50}\cdot\sqrt{50}\cdot\sqrt{50}\cdot\sqrt{50}

 


Definicja pierwiastka z liczb dodatnich, lub z liczby zero (a≥0). Jeśli pod pierwiastkiem mamy liczbę dodatnią, to wynik również będzie dodatni. Przykład:

Jeśli  6^{3}=216,  to  \sqrt[3]{216}=6

 


Nie obowiązuje.

 


Wyżej mieliśmy omówiony przypadek gdy pod pierwiastkiem występowała liczba dodatnia lub liczba zero. Tu liczba a (czyli ta pod pierwiastkiem) ma być mniejsza od zero. Taki przypadek może mieć miejsce tylko wtedy, gdy n (czyli stopień pierwiastka, lub potęga) jest nieparzysta. Wynik takiego pierwiastkowania także będzie ujemny.Np.:

Jeśli  (-5)^{3}=-125,  to  \sqrt[3]{-125}=-5

Nie da się natomiast wyciągnąć pierwiastka parzystego stopnia z liczby ujemnej jak np:

\sqrt{-49}

ponieważ nie ma takiej liczby, która po podniesieniu do drugiej potęgi dała by -49. I 7, i -7 podniesione do potęgi drugiej dadzą liczbę dodatnią 49.

 


Wzory bardzo ważne, a jednocześnie sprawiające dużą trudność wielu uczniom. Potęgi ujemne i ułamkowe nie są darzone zbyt dużą sympatią. O potędze zerowej, natomiast, często się zapomina. Na tym temacie każdy z Was powinien zatrzymać się na dłużej i przeliczyć tyle przykładów, ile to jest konieczne aby powyższe wzory stały się jasne i czytelne. Jest to o tyle ważne, że zadanie oparte na nich jest na każdej maturze. Dodatkowo, niedostateczne opanowanie potęg i pierwiastków mści się, kiedy zabieramy się z logarytmy, które same w sobie nie są trudne, jednak często wymagają płynnego posługiwania się powyższymi wzorami.

Jak widzimy powyżej, mamy trzy różne potęgi przy liczbie a (pomijam na razie zero). Najbardziej złożony jest przykład trzeci, który zawiera w sobie dwa pozostałe przypadki i tak naprawdę jego zrozumienie jest kluczowe. W przypadku tym potęgę możemy rozłożyć na trzy elementy: minus, m – czyli licznik ułamka oraz n – czyli mianownik ułamka. Najłatwiej każdy z tych elementów traktować jako oddzielną potęgę, odpowiadającą za coś innego. I tak: minus powoduje odwrócenie liczby a (zamianę licznika z mianownikiem), liczba m to „zwykła” potęga, a liczba n to ułamek potęgi, czyli pierwiastek n-tego stopnia. Czyli biorąc na tapetę pierwszy wzór, mamy tu tylko minus i liczbę n, która w tym wypadku jest licznikiem (n możemy zapisać jako \frac{n}{1}), czyli jest „zwykłą” potęgą. We wzorze drugim pojawia się m jako „zwykła” potęga i n jako pierwiastek.

Nie wiem czy to co tu napisałam jest jasne, jeśli nie do końca, to z pomocą przychodzą przykłady liczbowe. Miejmy tylko przed oczyma trzy najważniejsze zasady:

  • minus odwraca liczbę potęgowaną, czyli np. z \frac{2}{3} robi \frac{3}{2}
  • licznik potęgi to „zwykła” potęga
  • mianownik potęgi to pierwiastek danego stopnia z liczby potęgowanej

Przykład 1.

3^{-3}    w potędze występuje minus, który odwraca liczbę potęgowaną, oraz liczba 3, czyli „zwykła” potęga. Skoro mamy odwrócić liczbę potęgowaną (zamienić licznik z mianownikiem), zapiszmy ją jako ułamek. Następnie ujemna potęga odwraca nam ułamek. Po odwróceniu już minusa nie zapisujemy, potęga zrobiła swoje i znika.

3^{-3}=(\frac{3}{1})^{-3}=(\frac{1}{3})^{3}

Ułamek ten możemy podnieść do potęgi trzeciej, co często w zadaniach nie jest konieczne, możemy też zapisać potęgę tylko przy mianowniku (1^{3} to w końcu 1) i otrzymamy taką formę, jaką ma wzór nr 1.

(\frac{1}{3})^{3}=\frac{1}{3^{3}}

Przykład 2.

5^{\frac{2}{3}}   mianownik potęgi, czyli liczba 2 to „zwykła” potęga, licznik to pierwiastek 3-go stopnia.

5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^{2}}

Możemy też najpierw zapisać pierwiastek, a dopiero później „zwykłą” potęgę, otrzymując:

5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5}^{2}

Oba te zapisy są równoważne.

Przykład 3.

6^{\frac{1}{2}}    licznik potęgi to „zwykła” potęga, z tym, że jedynka jako potęga nie musi być zapisywana, a tu stanowi tylko „górę” dla mianownika. Mianownik, czyli liczba 2, to pierwiastek 2-go stopnia.

6^{\frac{1}{2}}=\sqrt{6}

Przykład 4.

(\frac{2}{3})^{-\frac{2}{3}}     w tej potędze mamy wszystkie dostępne możliwości, jest minus, więc będziemy obracać, jest licznik będący „zwykłą” potęgą, jest tez mianownik będący innym zapisem pierwiastka 3-go stopnia.

(\frac{2}{3})^{-\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{(\frac{3}{2})^{2}}

 

Została nam jeszcze potęga zerowa. Tu nie ma nic odkrywczego, każda liczba do potęgi zerowej daje jeden.

Przykłady:

4^{0}=1

(-67)^{0}=1

 


Kolejne ważne wzory, bardzo często mające zastosowanie na maturze. Te, jednak, nie sprawiają z reguły większych trudności. Wróćmy uwagę na tekst nad i pod wzorami. Ten pod mówi nam, że jeśli potęgi są liczbami całkowitymi (mogą być ujemne) to możemy korzystać ze wzorów, byleby ani liczba a ani liczba b nie były zerem. Jeśli jednak potęgi będą ułamkowe, lub jakieś jeszcze dziwniejsze, nie będące liczbami całkowitymi, to wzory obowiązują tylko dla podstaw dodatnich (tekst nad).

Kilka przykładów na liczbach:

4^{5}\cdot4^{-6}=4^{5+(-6)}=4^{-1}

(7^{3})^{2}=7^{3\cdot2}=7^{6}

\frac{(-4)^{8}}{(-4)^{4}}=4^{8-4}=4^{4}

(7\cdot5)^{2}=7^{2}\cdot5^{2}

\left(\frac{3}{4}\right)^{3}=\frac{3^{3}}{4^{3}}

 

A teraz ćwiczenie dla Was. Poniżej znajduje się kilka zadań, które znalazły się na dotychczasowych arkuszach maturalnych. Spróbujcie je rozwiązać. Jeśli nie będziecie mieć z nimi problemu, temat możecie uważać za opanowany. Jeśli jednak problem się pojawi, pamiętajcie, że sposoby rozwiązań tego typu zadań już w sobotę.

Zadanie 1.

Liczba  \left(\frac{1}{(\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2)^{0}}\right)^{-2} jest równa

A. \frac{1}{225}                       B. \frac{1}{15}                      C. 1                           D. 15

Zadanie 2.

Liczba  \left(\frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{2^{-1}\cdot 3^{-2}}\right)^{0}  jest równa

A. 1                       B. 4                            C. 9                              D. 36

Zadanie 3.

Liczba  \frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}  jest równa

A. 2\sqrt{2}                       B. 2                        C. 4                           D. \sqrt{10}-\sqrt{5}

Zadanie 4.

Liczba  \sqrt[3]{(-8)^{-1}}\cdot16^{\frac{3}{4}}  jest równa

A. -8                             B. -4                           C. 2                              D. 4

Zadanie 5.

Iloczyn  9^{-5}\cdot3^8  jest równy

A. 3^{-4}                               B. 3^{-9}                              C. 9^{-1}                                  D. 9^{-9}

Zadanie 6.

Dana jest liczba  x=63^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{4} . Wtedy

A. x=7^{2}                            B. x=7^{-2}                           C. x=3^{8}\cdot7^{2}                          D. x=3\cdot7

Zadanie 7.

Iloraz  32^{-3}:\left(\frac{1}{8}\right)^{4}  jest równy

A. 2^{-27}                          B. 2^{-3}                              C. 2^{3}                              D. 2^{27}

Dodaj komentarz