ROZWIĄZANIA ZADAŃ Z POTĘG I PIERWIASTKÓW

O oto rozwiązania zadań, z którymi zostawiłam Was ostatnio. Starałam się tłumaczyć możliwie jak najjaśniej i niektóre zadnia, zamiast trzech linijek rozwiązania, są rozpisane na o wieeele więcej. Mam nadzieję, że nie stracą przez to na przejrzystości. Gdyby coś było niejasne, nie krępujcie się pytać. To ma być dla Was zrozumiałe, ale mi trudno to obiektywnie ocenić, więc liczę na Waszą konstruktywną krytykę.

Zadanie 1.

Liczba  \left(\frac{1}{(\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2)^{0}}\right)^{-2} jest równa

Przyjrzyjmy się najpierw całemu zadaniu. Widzimy  dość rozbudowany mianownik ułamka, który daje pozory sporej ilości liczenia. Jednak zauważmy, że cały ten mianownik jest podniesiony do potęgi zerowej, czyli jest równy 1.

\left(\frac{1}{(\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2)^{0}}\right)^{-2}=\left(\frac{1}{1}\right)^{-2}

Mamy tu jeszcze potęgę -2, która składa się z „minusa” odwracającego liczbę potęgowaną i z liczby 2. To tak dla przypomnienia, bo tu to i tak nic nie zmienia. Liczba 1 do każdej potęgi i tak daje 1.

\left(\frac{1}{1}\right)^{-2}=1

A. \frac{1}{225}                       B. \frac{1}{15}                      C. 1                           D. 15

Zadanie 2.

Liczba  \left(\frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{2^{-1}\cdot 3^{-2}}\right)^{0}  jest równa

Tu sytuacja jest jeszcze prostsza, niż w zadaniu 1, ponieważ tu całe działanie jest podniesione do potęgi zerowej.

\left(\frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{2^{-1}\cdot 3^{-2}}\right)^{0}=1

A. 1                       B. 4                            C. 9                              D. 36

Zadanie 3.

Liczba  \frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}  jest równa

Jeśli w zadaniu występują działania na pierwiastkach, a Wy nie macie pomysłu jak to zadanie „ruszyć”, (i nie ma potęgi zerowej, która by nam problem rozwiązała) warto szukać możliwych sposobów rozwiązań w pewnej kolejności:

  1. sprawdzamy, czy pierwiastki nie są liczbami wymiernymi, czyli czy nie można ich po prostu obliczyć, np. \sqrt[3]{729}=9
  2. zastanawiamy się, czy nie można zapisać pierwiastków jako potęg o jednej (ew. dwóch) podstawie. Będzie to omówione w kolejnych zadaniach, dlatego tu dam sobie spokój z przykładami.
  3. próbujemy rozłożyć pierwiastki

To, oczywiście, pewne uproszczenie nie biorące pod uwagę chociażby zadań z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia. Ale te omówimy później, kiedy dojdziemy do tego etapu tłumaczenia.

W naszym przykładzie odpadają nam dwa pierwsze pomysły, a więc bierzemy się za rozkład pierwiastków.

\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}

\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}

Otrzymujemy więc:

\frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

W tym zapisie mamy same pierwiastki z dwóch, czyli wyrazy podobne, możemy więc na nich wykonywać działania.

\frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

Teraz już możemy skrócić pierwiastki. Pamiętajmy, że skracać możemy tylko kiedy na ułamku mamy mnożenie.

\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2

A. 2\sqrt{2}                       B. 2                        C. 4                           D. \sqrt{10}-\sqrt{5}

Zadanie 4.

Liczba  \sqrt[3]{(-8)^{-1}}\cdot16^{\frac{3}{4}}  jest równa

sposób 1

Tu, zgodnie z punktami podanymi w poprzednim zadaniu, zauważamy, że możemy wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia z -8. Z potęgą -1 na razie nic nie robimy.

\sqrt[3]{(-8)^{-1}}\cdot16^{\frac{3}{4}}=(-2)^{-1}\cdot16^{\frac{3}{4}}

Przy liczbie 16 mamy potęgę składającą się z 3, jako „zwykłej” potęgi i 4 w mianowniku, czyli pierwiastka 4-go stopnia. Pierwiastek 4-go stopnia z 16 to 2.

(-2)^{-1}\cdot16^{\frac{3}{4}}=(-2)^{-1}\cdot2^{3}

Teraz możemy albo obliczyć te potęgi, albo zapisać obie liczby jako potęgi liczby 2 i je dodać (potęgi nie liczby). W drugim przypadku musimy mieć takie same podstawy, a więc przeszkadza nam minus przy dwójce. Jako, że wynik potęgowania i tak będzie ujemny, możemy ten minus wyjąć z nawiasu.

(-2)^{-1}\cdot2^{3}=-\frac{1}{2}\cdot8=-4

lub

(-2)^{-1}\cdot2^{3}=-2^{-1}\dot2^{3}=-2^{-1+3}=-2^{2}=-4

sposób 2

Możemy też, nie wyciągając pierwiastków, od razu zapisać obie liczby jako potęgi liczby 2 korzystając ze wzorów:

Korzystamy z nich odwrotnie, od prawej do lewej, zamieniając pierwiastek na potęgę:

\sqrt[3]{(-8)^{-1}}    mamy tu pierwiastek 3-go stopnia (liczba n w drugim i trzecim wzorze), który jako potęga jest zapisany w mianowniku. Musimy też określić znak wyniku, i wyjąc minus na przód, ponieważ wzory dotyczą liczb dodatnich.

\sqrt[3]{(-8)^{-1}}=-\sqrt[3]{(2^{3})^{-1}}=-2^{-\frac{3}{3}}=-2^{-1}

16^{\frac{3}{4}}     tu możemy liczbę 16 zapisać jako 4-tą potęgę liczby 2, a następnie wymnożyć potęgi korzystając z tego wzoru:

16^{\frac{3}{4}}=(2^{4})^{\frac{3}{4}}=2^{3}

Całościowo mamy więc:

\sqrt[3]{(-8)^{-1}}\cdot16^{\frac{3}{4}}=-2^{-1}\cdot2^{3}

Teraz możemy skorzystać ze wzoru:

-2^{-1}\cdot2^{3}=-2^{-1+3}=-2^{2}=-4

 

A. -8                             B. -4                           C. 2                              D. 4

Zadanie 5.

Iloczyn  9^{-5}\cdot3^8  jest równy

W tym przypadku mamy dość duże potęgi. Obliczanie ich to niepotrzebna praca, zwłaszcza jeśli zauważymy, że w odpowiedziach nadal potęgi są. Dużo łatwiej będzie skorzystać z wzorów działań na potęgach:

W tym wypadku musimy mieć jednak wspólne podstawy. Ale to nie stanowi problemu, wystarczy liczbę 9 zapisać jako potęgę liczby 3. Dalej zostaje nam już tylko skorzystać z wzorów.

9^{-5}\cdot3^8=(3^2)^{-5}\cdot3^8=3^{-10}\cdot3^8=3^{-10+8}=3^{-2}

Ponieważ nie mamy takiej odpowiedzi z podstawą 3, musimy przerobić podstawę na liczbę 9 (odp. C i D). Niestety często odpowiedzi nie są podawanie w najpoprawniejszej, czy najprostszej formie, a tak by zawikłać zadanie. Potęga -2 składa się z „minusa”, który odwraca liczbę potęgowaną i z dwójki jako „zwykłej” potęgi. Obliczamy tą „zwykłą” potęgę zostawiając minus.

3^{-2}=9^{-1}

A. 3^{-4}                               B. 3^{-9}                              C. 9^{-1}                                  D. 9^{-9}

Zadanie 6.

Dana jest liczba  x=63^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{4} . Wtedy

To zadanie może być nieco kłopotliwe w pierwszym odbiorze, ponieważ poza wyliczeniem tych potęg nic ciekawego nie przychodzi do głowy. To też, oczywiście, jest metoda, tylko wtedy będziemy musieli wyliczyć potęgi także w wynikach by je porównać.

Wyglądało by to tak:

x=63^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{4}=3969\cdot\frac{1}{81}=49

A. x=7^{2}=49

B. x=7^{-2}=\frac{1}{49}

C. x=3^{8}\cdot7^{2}=6561\cdot49=321489

D. x=3\cdot7=21

Metoda jak najbardziej poprawna, ale omówmy też tą „bardziej” prawidłową 😉

Tu też możemy się posiłkować odpowiedziami, w których widzimy potęgi liczb 3 i 7. Kombinując z tymi liczbami łatwo zauważyć, że 63=7\cdot3\cdot3=7\cdot3^2. Z ułamka \frac{1}{3} też możemy zrobić liczbę 3 przez odwrócenie.

x=63^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{4}=(7\cdot3^2)^2\cdot(3^{-1})^4

Wykonując działania na potęgach otrzymujemy:

(7\cdot3^2)^2\cdot(3^{-1})^4=7^2\cdot3^4\cdot3^{-4}=7^2\cdot3^{4+(-4)}=7^2\cdot3^0=7^2

A. x=7^{2}                            B. x=7^{-2}                           C. x=3^{8}\cdot7^{2}                          D. x=3\cdot7

Zadanie 7.

Iloraz  32^{-3}:\left(\frac{1}{8}\right)^{4}  jest równy

Zauważamy (bądź podglądamy w odpowiedziach), że obie podstawy można zapisać jako potęgi liczby 2.

32^{-3}:\left(\frac{1}{8}\right)^{4}=(2^5)^{-3}:(2^{-3})^4=2^{-15}:2^{-12}=2^{-15-(-12)}=2^{-3}

Poniżej rozpisuję dokładnie zamianę ułamka w liczbę 2, gdyby ktoś miał wątpliwości.

\left(\frac{1}{8}\right)^{4}=\left(\frac{1}{2^3}\right)^{4}=\left(2^{-3}\right)^{4}

A. 2^{-27}                          B. 2^{-3}                              C. 2^{3}                              D. 2^{27}

Dodaj komentarz