• Rodzaj zadania

  • zadania zamknięte
    zadania otwarte
    wykaż

  • Autor

  • CKE
    Maturatornia

  • Dział

  • Liczby rzeczywiste

    liczby rzeczywiste
    potęgi
    pierwiastki
    logarytmy
    błąd bezwzględny i względny
    procenty

    Wyrażenia algebraiczne

    wyrażenia algebraiczne
    wzory skróconego mnożenia
    wykaż – wyrażenia algebraiczne

    Równania i nierówności

    równania i nierówności
    równania liniowe
    równania kwadratowe
    równania wymierne
    równania w formie iloczynu nawiasów
    inne równania - równości
    układy równań
    nierówności liniowe
    nierówności kwadratowe
    nierówności 2w1
    inne nierówności

    Funkcje

    funkcje
    funkcja liniowa
    funkcja kwadratowa
    funkcja typu a/x
    funkcja wykładnicza
    inne funkcje
    przesuwanie wykresu funkcji

    Ciągi

    ciągi
    ciąg arytmetyczny
    ciąg geometryczny
    suma ciągu
    zależność między sąsiednimi wyrazami
    n-ty wyraz ciągu

    Trygonometria

    trygonometria
    funkcje kata ostrego
    funkcje kąta 90-180
    tożsamości

    Planimetria

    planimetria
    kąty w okręgu
    podobieństwo
    trygonometria w planimetrii
    wykaż – planimetria

    Geometria analityczna

    geometria analityczna
    odcinek
    prosta
    proste prostopadłe i równoległe
    symetria

    Stereometria

    stereometria
    krawędzie - wierzchołki - ściany
    pole powierzchni i objętość
    trygonometira w stereometrii

    Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

    elementy statystyki opisowej - teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
    średnia - mediana - dominanta
    odchylenie standardowe
    kombinatoryka
    prawdopodobieństwo

  • Matury CKE

    Zadania mogą być w nieco innej kolejności niż na arkuszach.

  • matura - maj 2019
    matura - maj 2018



  • Wybrane wzory matematyczne

  • Zadanie 1 (1 pkt.) matura - maj 2019

    Liczba naturalna \(n=2^{14}\cdot 5^{15}\) w zapisie dziesiętnym ma

    A. \(14\) cyfr B. \(15\) cyfr C. \(16\) cyfr D. \(30\) cyfr

     

    Podpowiedź: Aby zastosować tu jakikolwiek wzór musimy mieć albo takie same podstawy, albo takie same potęgi. Spróbuj zapisać inaczej \(5^{15}\) aby uzyskać liczbę \(14\) w potędze.
    Rozwiązanie:
    Aby w tym zadaniu ruszyć z miejsca musimy zastanowić się o co autor miał na myśli. Ilości miejsc nie określimy podnosząc bezpośrednio liczby to tych ogromnych potęg, bo kalkulatory wysiądą (przynajmniej te, które można mieć na maturze). Tu musi być sposób. Zauważmy, że liczby \(2\cdot 5\) dają nam \(10\), a dziesiątkę łatwo podnieść do potęgi nawet w pamięci. Ale... nie ma tu takich samych potęg aby móc wykonać to mnożenie. Jak "zrobić" te same potęgi? Zapisując liczbę \(5^{15}\) jako \(5^{14}\cdot 5\). Dalej już pójdzie. \[2^{14}\cdot 5^{15}=2^{14}\cdot 5^{14}\cdot 5=(2\cdot 5)^{14}\cdot 5=10^{14}\cdot 5=100000000000000\cdot 5=500000000000000\] Mam nadzieję, że wszystko jasne. Możemy teraz policzyć ile tych cyfr jest. Jeśli mi się zera nie pomieszały, to wychodzi \(15\) ;)
    Odpowiedź: B
    Zadanie 2 (1 pkt.) matura - maj 2018

    Dane są liczby \(a=3,6\cdot 10^{-12}\) oraz \(b=2,4\cdot 10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy

    A. \(8,64\cdot 10^{-32}\) B. \(1,5\cdot 10^{-8}\) C. \(1,5\cdot 10^{8}\) D. \(8,64\cdot 10^{32}\)

     

    Podpowiedź: Dzielenie \(\frac{a\cdot{b}}{c\cdot{d}}\) można zapisać w postaci \(\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{d}\). Skorzystaj także z wzorów do działań na potęgach - Wybrane wzory matematyczne str. 1.
    Rozwiązanie:
    \(\frac{a}{b}=\frac{3,6\cdot 10^{-12}}{2,4\cdot 10^{-20}}=\frac{3,6}{2,4}\cdot\frac{10^{-12}}{10^{-20}}=1,5 \cdot 10^{-12- (-20)}=1,5 \cdot 10^{-12+20}=1,5 \cdot 10^{8}\)
    Odpowiedź: C
    Zadanie 3 (1 pkt.)

    Dane są liczby \(a=5,6\cdot 10^{-8}\) oraz \(b=2,1\cdot 10^{23}\). Wtedy iloczyn \(a\cdot{b}\) jest równy

    A. \(11,76\cdot 10^{16}\) B. \(1,76\cdot 10^{14}\) C. \(11,76\cdot 10^{-31}\) D. \(1,176\cdot 10^{16}\)

     

    Podpowiedź: Pamiętaj, że mnożenie jest przemienne, możemy dowolnie zmieniać kolejność mnożonych liczb. Skorzystaj także z wzorów do działań na potęgach - Wybrane wzory matematyczne str. 1.
    Rozwiązanie:
    \(a\cdot{b}=5,6\cdot 10^{-8} \cdot 2,1 \cdot 10^{23}=11,76\cdot 10^{-8+23}=11,76 \cdot 10^{15}=1,176\cdot 10^{16}\)
    Odpowiedź: D
    Zadanie 4 (1 pkt.)

    Dane są liczby \(a=1,2\cdot 10^{-11}\) oraz \(b=8,1\cdot 10^{-12}\). Suma liczb \(a\) i \(b\) jest równa

    A. \(2,01\cdot 10^{-11}\) B. \(9,3\cdot 10^{-23}\) C. \(82,2\cdot 10^{-12}\) D. \(9,3\cdot 10^{1}\)

     

    Podpowiedź: Aby dodać te liczby musimy doprowadzić je do takiej samej potęgi przy dziesiątce.
    Rozwiązanie:
    \(a+b=1,2 \cdot 10^{-11}+8,1\cdot10^{-12}=1,2\cdot10^{-11}+0,81\cdot10^{-11}=2,01\cdot10^{-11}\)
    Odpowiedź: A
    Zadanie 5 (1 pkt.)

    Znając wartość liczb \(a=2,7\cdot 10^{-31}\) oraz \(b=7,2\cdot 10^{-13}\) znajdź wartość wyrażenia \(2ab\)

    A. \(38,88\cdot 10^{-18}\) B. \(38,88\cdot 10^{18}\) C. \(3,888\cdot 10^{-45}\) D. \(3,888\cdot 10^{-43}\)

     

    Podpowiedź: Pamiętaj, że mnożenie jest przemienne, możemy dowolnie zmieniać kolejność mnożonych liczb. Skorzystaj także ze wzorów do działań na potęgach - Wybrane wzory matematyczne str. 1.
    Rozwiązanie:
    \(2ab=2\cdot2,7\cdot10^{-31}\cdot7,2\cdot10^{-13}=38,88\cdot10^{-44}=3,888\cdot10^{-43}\)
    Odpowiedź: D
    Zadanie 6 (1 pkt.)

    Liczbę naturalną \(a=2,5^{21}\cdot 4^{22}\) można zapisać w postaci

    A. \(4\cdot10^{21}\) B. \(10^{43}\) C. \(100^{22}\) D. \(0,4\cdot10^{23}\)

     

    Podpowiedź: Aby zastosować tu jakikolwiek wzór musimy mieć albo takie same podstawy, albo takie same potęgi. Spróbuj zapisać inaczej \(4^{22}\) aby uzyskać liczbę \(21\) w potędze.
    Rozwiązanie:
    \(2,5^{21}\cdot 4^{22}=2,5^{21}\cdot 4^{21}\cdot 4=(2,5\cdot 4)^{21}\cdot 4=10^{21}\cdot 4=4\cdot10^{21}\)
    Odpowiedź: A
    Zadanie 7 (1 pkt.)

    Wyrażenie \(\frac{9\sqrt{3}\cdot\frac{1}{27}}{81^{-1}}\) jest równe

    A. \(3^{-\frac{9}{2}}\) B. \(3\) C. \(3^{\frac{7}{2}}\) D. \(1\)

     

    Podpowiedź: Skorzystaj z wzorów na działania na potęgach - Wybrane wzory matematyczne str. 1.
    Rozwiązanie:
    \(\frac{9\sqrt{3}\cdot\frac{1}{27}}{81^{-1}}=\frac{3^{2}\cdot3^{\frac{1}{2}}\cdot3^{-3}}{\left(3^{4}\right)^{-1}}=\frac{3^{2+\frac{1}{2}+(-3)}}{3^{-4}}=\frac{3^{-\frac{1}{2}}}{3^{-4}}=3^{-\frac{1}{2}-(-4)}=3^{-\frac{1}{2}+4}=3^{\frac{7}{2}}\)
    Odpowiedź: C